Question

【題目】已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且f（x）＞﹣x的解集為{x|1＜x＜2}，方程f（x）+2a=0有兩相等實根，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：設f（x）=ax2+bx+c，由f（x）＞﹣x，可得ax2+（b+1）x+c＞0，∵f（x）＞﹣x的解集為{x|1＜x＜2}，
∴ ，解得 ，
∴f（x）=ax2﹣（3a+1）x+2a．
∵f（x）+2a=0，即ax2﹣（3a+1）x+4a=0有兩相等實根，
∴△=（3a+1）2﹣16a2=0，解得a=1舍去或 ．④
由①②③④得： ， ， ．
∴
【解析】設f（x）=ax2+bx+c，由f（x）＞﹣x，可得ax2+（b+1）x+c＞0，由f（x）＞﹣x的解集為{x|1＜x＜2}，列出不等式組，求解即可得a，b，c的關系式，再由f（x）+2a=0求出a的值，結合a，b，c的關系式即可得答案．
【考點精析】掌握函數的定義域及其求法是解答本題的根本，需要知道求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．