Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數 的單調區間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

（Ⅲ）求證： （， 是自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，單調遞減區間為;（Ⅱ）; （Ⅲ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數的導數，分別解不等式、，可求得的增區間和減區間.

（Ⅱ）構建新函數， 不等式在上恒成立等價于在恒成立，而，分三種情形討論可得實數的取值范圍為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得不等式， ，故有，利用累加及其裂項相消法可以得到： ，化簡后可得到要證明的不等式.

詳解：（Ⅰ）當時， ，

.

由解得，由解得，

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（Ⅱ）因當時，不等式恒成立，即恒成立.

設，只需即可.

由,

（�。┊�時， ，

當時， ，函數在上單調遞減，

故成立；

（ⅱ）當時，由，因，所以，

①若，即時，在區間上， ，則函數在上單調遞增， 在上無最大值；

②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；

（ⅲ）當時，由，∵，∴，

∴，故函數在上單調遞減，故成立.

綜上所述，實數的取值范圍是.

（Ⅲ）據（Ⅱ）知當時， 在上恒成立，又，

∵

，

∴.