Question

【題目】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．

(1)將V表示成r的函數V(r)，并求該函數的定義域；

(2)討論函數V(r)的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

Answer 1

【答案】（1）V(r)＝ (300r－4r3)．定義域為 （2）單調性見解析，r＝5，h＝8蓄水池的體積最大

【解析】試題分析：（1）先由圓柱的側面積及底面積計算公式計算出側面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導，求出函數在內的極值點，由導數的正負確定函數的單調性，進而得出取得最大值時的值.

（1）∵蓄水池的側面積的建造成本為元，底面積成本為元

∴蓄水池的總建造成本為元

所以即

∴

∴

又由可得

故函數的定義域為6分

（2）由（1）中，

可得（）

令，則

∴當時， ，函數為增函數

當，函數為減函數

所以當時該蓄水池的體積最大 12分.