Question

【題目】四棱錐A－BCDE中，側棱AD⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，BC＝2AD＝2DC＝2DE＝4，H，I分別是AD，AE的中點．

(Ⅰ)在AB上求作一點F，BC上求作一點G，使得平面FGI∥平面ACD；

(Ⅱ)求平面CHI將四棱錐A－BCDE分成的兩部分的體積比．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ)通過證明 IG∥HC和FG∥AC.從而平面FGI∥平面ACD.

(Ⅱ)先求得四棱錐A－BCHI的體積V1＝××＝，和四棱錐A－BCDE的體積V＝××(2＋4)×2×2＝4，通過作差得到多面體HI－ABCD的體積V2＝V－V1＝，可得兩部分體積比為.

試題解析：(Ⅰ)如右圖所示，分別作AB的四等分點F(離A較近)，BC的四等分點G(離C較近)，則其使得平面FGI∥平面ACD.

證明如下：

因為H，I分別是AD，AE的中點，

所以HI∥DE，

且HI＝DE.

又DE∥BC，BC＝2DE，

所以HI∥BC且HI＝BC.

所以HI∥GC且HI＝GC.

所以四邊形HIGC是平行四邊形．

所以IG∥HC.

由題意, ，所以FG∥AC.

又IG∩FG＝G，HC∩AC＝C，所以平面FGI∥平面ACD.

(Ⅱ)連接BI，∵H，I分別為AD，AE中點，∴HI∥DE，HI＝DE＝1，

又DE∥BC，∴HI∥BC，

∴平面CHI將四棱錐分成四棱錐A－BCHI與多面體HI－ABCD兩部分，

過D作DM⊥CH，垂足為M，則A到平面BCHI的距離等于DM，

∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥CD，

在Rt△CDH中，CD＝2，DH＝1，

CH＝，DM＝，

∵BC⊥CD，AD⊥BC，AD∩CD＝D，

∴BC⊥平面ACD，

∵CH平面ACD，∴BC⊥CH，

四邊形BCHI的面積為 (1＋4)×＝，

四棱錐A－BCHI的體積V1＝××＝，

四棱錐A－BCDE的體積V＝××(2＋4)×2×2＝4，

多面體HI－ABCD的體積V2＝V－V1＝，

∴平面CHI將四棱錐A－BCDE分成的兩部分體積比為.