Question

【題目】(導學號：05856264)

已知函數f(x)＝aln x，e為自然對數的底數．

(Ⅰ)曲線f(x)在點A(1，f(1))處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為2，求實數a的值；

(Ⅱ)若f(x)≥1－恒成立，求實數a的值取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a＝±4 (2) a的值為1

【解析】試題分析：（1）求出曲線的切線方程，根據三角形面積公式求出a的值即可；

（2）問題等價于alnx+﹣1≥0在（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx+﹣1，而g（1）=0，只需x=1是函數的極值點即可求出a的值．

試題解析：

(Ⅰ)f′(x)＝，則切線的斜率為f′(1)＝a.故曲線f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為

y－f(1)＝a(x－1)，即y－0＝a(x－1)，

即y＝a(x－1)．

令x＝0，得y＝－a；令y＝0，得x＝1，

故切線與坐標軸的交點分別為(0，－a)，(1,0)．

所以切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為×|－a|×1＝2，解得a＝±4.

(Ⅱ)由f(x)≥1－，得aln x≥1－，即aln x－1＋≥0.

令g(x)＝aln x－1＋，則g(x)≥0恒成立．

因為函數g(x)＝aln x－1＋的定義域為(0，＋∞)，且g′(x)＝－＝，

①當a<0時，ax－1<0，則<0.即g′(x)<0.此時函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，且因為g(1)＝0，

所以當x∈(1，＋∞)，g(x)<0，不滿足g(x)≥0恒成立．故舍去．

②當a>0時，令g′(x)<0，得0<x<；

令g′(x)>0，得x>；

所以函數g(x)在(0，)上單調遞減，

在(，＋∞)上單調遞增．

所以函數g(x)的最小值為g()．

因為g(1)＝0，所以要使g(x)≥0恒成立，則g(1)必定是函數g(x)的最小值．

即＝1，解得a＝1.

綜上，實數a的值為1.