Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面是邊長為的菱形，，側面為正三角形，側面底面，為側棱的中點，為線段的中點

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求三棱錐的體積

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）連接，交于點；根據三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質可知平面；根據線面垂直性質可證得結論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉化為；根據已知長度和角度關系分別求得四邊形面積和高，代入得到結果.

（Ⅰ）證明：連接，交于點

四邊形為菱形 為中點

又為中點

平面，平面 平面

（Ⅱ）為正三角形，為中點

平面平面，平面平面，平面

平面，又平面

（Ⅲ）為中點

又，

，

由（Ⅱ）知，