Question

【題目】已知各項均為正數的數列的前n項和為，.

（1）求數列的通項公式；

（2）記，若集合中恰好有3個元素，求實數的取值范圍；

（3）若，且，求證：數列為等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用數列與的關系可轉化條件得，由、即可得解；

（2）由題意，根據、、分類討論，求得數列最大的四項即可得解；

（3）轉化條件得，結合即可得證.

（1）由題意得，

兩式相減得，由可得，

所以數列隔項成等差數列，公差為2，

由得即，

所以，即數列的通項公式為；

（2）由題意得，從而，

所以當時，，，即；

當時，，，即；

當時，，，即；

所以，

而

又因為的解僅有3個，

所以，因此實數的取值范圍為；

（3）證明：由題意得，所以，

兩式相減得，①

所以，②

②一①得，

整理得即，

由和，得，

所以，即數列為等差數列.