Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+（b﹣1）x+1（a，b∈R，a＞0）．
（1）若f（1）=0，且對任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；
（2）已知x1 ， x2為函數f（x）的兩個零點，且x2﹣x1=2，當x∈（x1 ， x2）時，g（x）=﹣f（x）+2（x2﹣x）的最大值為，當a≥2時，求h（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2﹣x）=f（2+x），得函數f（x）關于x=2對稱，則﹣ =2，

又a+b﹣1+1=0，

解得a= ，b=﹣ ，

∴f（x）= x2﹣ x+1

（2）解：設f（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2），

g（x）=﹣a（x﹣x1）（x﹣x2）+2（x2﹣x）=﹣a（x﹣x2）（x﹣x1+ ）=a（x2﹣x）（x﹣x1+ ）；

∵x∈（x1，x2），a≥2；

∴x2﹣x＞0，x﹣x1+ ＞0；

∵ ﹣ ﹣x2═ ﹣ = ﹣ =1﹣ ＜0，

∴ ﹣ ＜x2，

﹣ ﹣x1= ﹣ =1﹣ ＞1﹣ = ＞0，

∴ ﹣ ＞x1，

∴x= ﹣ ∈（x1，x2）．

∴g（x）≤a（ ）2=a+ +2，

當x= ﹣ = 時取“=”；

∴h（a）=a+ +2，a≥2；

a≥2時，h′（x）=1﹣ ＞0；

∴h（a）在[2，+∞）上單調遞增；

∴h（2）= 是h（a）的最小值

【解析】（1）由f（2﹣x）=f（2+x）得函數的對稱軸為x=2，結合一元二次函數的對稱性進行求解即可，求f（x）；（2）求出g（x）=a（x2﹣x）（x﹣x1+ ），根據基本不等式求出g（x）≤a+ +2，利用函數的單調性求出答案．