Question

【題目】如圖，設拋物線的焦點為F，準線為l，過準線l上一點且斜率為k的直線交拋物線C于A，B兩點，線段AB的中點為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點.

（1）求拋物線C的方程及k的取值范圍；

（2）是否存在k值，使點P是線段DE的中點？若存在，求出k值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）由拋物線準線方程可以求出p的值，進而得到拋物線方程，聯立直線與拋物線方程，由于直線與拋物線由兩個交點, 所以，就可以得到k的取值范圍；

（2）由（1）得，所以，求出點P的坐標，可得直線PF的方程,聯立拋物線方程，再由韋達定理，結合中點坐標公式求解即可得出結論.

（1）由已知得，

∴.

∴拋物線方程為.

設的方程為，，，，，

由得.

，

解得，

注意到不符合題意，所以.

（2）不存在k值，使點P是線段DE的中點，理由如下：

由（1）得，

所以，

所以，，

直線PF的方程為.

由得，

.

點P為線段DE的中點時，有，即，

因為，所以此方程無實數根，

因此不存在k值，使點P是線段DE的中點.