Question

【題目】已知函數f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）.

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），證明：x1+x2＜0.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)對函數求導,根據的取值進行分情況討論,判斷函數的單調性;

(2)先判斷函數有兩個零點時的取值范圍為,再利用極值點偏移法,構造函數,,證明即可.

(1)f(x)=(x﹣1)ex+ax2,

f′(x)=x(ex+2a),

①當a≥0時,ex+2a>0,

故當x∈(﹣∞,0)時,f'(x)<0,當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0,

所以函數f(x)在(﹣∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增;

②當a<0時,由f'(x)=x(ex+2a)=0,得x=0,或x=ln(﹣2a),

i當﹣2a>1即a時,ln(﹣2a)>0,

故當x∈(﹣∞,0),(ln(﹣2a),+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,當x∈(0,ln(﹣2a))時,f'(x)<0,f(x)遞減;

ii當0<﹣2a<1即a<0時,ln(﹣2a)<0,

故當x∈(﹣∞,ln(﹣2a)),(0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)遞增,當x∈(ln(﹣2a),0)時,f'(x)<0,f(x)遞減;

iii當﹣2a=1即a,ln(﹣2a)=0,f'(x)≥0,f(x)在R上遞增;

(2)函數f'(x)=x(ex+2a),由(1)可知:

①當a=0時,函數f(x)=(x﹣1)ex只有一個零點,不符合題意;

②當a<時,f(x)的極大值為f(0)=﹣1,f(x)極小值為,

故最多有一個零點,不成立;

③當a<0時,f(x)的極大值為f(ln(﹣2a)=[ln(﹣2a)﹣1]eln(﹣2a)+aln2(﹣2a)=a[ln2(﹣2a)﹣2ln(﹣2a)+2]=a[(ln(﹣2a)﹣1)2+1]<0,

故最多有一個零點,不成立;

④當a時,f(x)在R上遞增,

故最多有一個零點不成立;

③當a>0,函數f(x)在(﹣∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.

又f(0)=﹣1,f(1)=a>0,故在(0,1)存在一個零點x2,

因為x<0,所以x﹣1<0,0<ex<1,所以ex(x﹣1)>x﹣1,

所以f(x)>ax2+x﹣1,

取x0,顯然x0<0且f(x0)>0,

所以f(x0)f(0)<0,故在(x0,0)存在一個零點x1,

因此函數f(x)有兩個零點,且x1<0<x2,

要證x1+x2<0,即證明x1<﹣x2<0,

因為f(x)在(﹣∞,0)單調遞減,故只需f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)即可,

令g(x)=f(x)﹣f(﹣x),x>0,

g'(x)=x(ex+2a)﹣xe﹣x﹣2ax=x(ex﹣e﹣x)>0,

所以g(x)在上單調遞增,

又g(0)=0,所以g(x)>0,

故f(x1)=f(x2)>f(﹣x2)成立,

即x1+x2<0成立.