Question

【題目】已知函數.

（1）求函數在上的最小值的表達式；

（2）若函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的對稱軸方程，對實數分、、三種情況討論，分析函數在區間上的單調性，進而可得出函數在區間上的最小值的表達式；

（2）對函數分情況討論：（i）方程在區間上有兩個相等的實根；（ii）①方程在區間只有一根；（②；③.可得出關于實數的等式或不等式，即可解得實數的取值范圍.

（1），其對稱軸為，

當，即時，函數在區間上單調遞減，；

當，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

；

當時，即當時，函數在區間上單調遞增，.

綜上所述：；

（2）（i）若方程在上有兩個相等的實數根，

則，此時無解；

（ii）若方程有兩個不相等的實數根.

①當只有一根在內時，，即，得；

②當時，，方程化為，其根為，，滿足題意；

③當時，，方程化為，其根為，，滿足題意.

綜上所述，的取值范圍是.