Question

【題目】設函數(a,);

(1)若,求證:函數的圖像必過定點;

(2)若,證明:在區間上的最大值;

(3)存在實數a,使得當時,恒成立,求實數b的最大值;

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) 證明見解析;(3)5;

【解析】

（1）由題可得代入解析式中,整理后即可得證；

（2）由題先將代入解析式中,由對稱軸與區間的位置,分別討論,,的情況,進而求證即可；

（3）由對稱軸與區間的位置,分別討論,,的情況,利用不等式的傳遞性,進而求解即可

（1）證明:由,則,所以,

則當時,無論為何值,都有,

所以函數的圖像必過定點

（2）證明：因為,所以,

所以,

因為,,

令,則,

所以當時,；當時,,

當,即時,在上為增函數,則,

此時在的最大值為；

當,即時,在上為減函數,所以,

此時在的最大值；

當,即時,在上單調遞減,在上單調遞增,

所以的最小值為；

①當,即時,在上的最大值為,

因為,設,

所以,

此時在的最大值；

②當,即時,在上的最大值為,

因為,,

所以此時在的最大值；

綜上,,故

（3）當,即時,在上單調遞增,

所以,由可得,則,解得；

當,即時,在在上單調遞減,

所以,由可得,則,解集為；

當,即時,在單調遞減,在單調遞增,

所以,

由和可得,即,則,

所以,與聯立可得,

即,解得,

當時,由可得,此時滿足所列不等式,

綜上所述,的最大值為5,此時