Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 中，已知圓 ，點 ，點 ，以B為圓心， 為半徑作圓，交圓C于點P，且 的平分線交線段CP于點Q.

（1）當a變化時，點Q始終在某圓錐曲線 上運動，求曲線 的方程；
（2）已知直線l過點C，且與曲線 交于M,N兩點，記 面積為 ， 面積為 ，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ,
∴ ,∴ ,
∵ ,∴ ,
由橢圓的定義可知， Q點的軌跡是以C,A為焦點, 2a=4的橢圓，
故點Q的軌跡方程為
（2）解：由題可知，設直線 ，不妨設
∵ ， ，
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ .
【解析】（1）根據題目所給邊角關系，可得點Q距兩定點A，C的距離和為一定值，符合橢圓的定義，故可得點Q的軌跡方程。
（2）設出直線l的方程，聯立橢圓，利用韋達定理求出點的坐標間的關系，求出其變化范圍，然后代入面積公式中，即可得到比值。