Question

【題目】已知點，圓：，點是圓上一動點，線段的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）曲線與軸交于點，，直線過點且垂直于軸，點在直線上，點在曲線上，若，試判斷直線與曲線的交點的個數.

Answer 1

【答案】(1).

(2)與曲線只有一個交點.

【解析】分析: (1)利用待定系數法求點P的軌跡E的方程.(2)先求直線的方程為 ，再聯立橢圓，求得△=0得與曲線只有一個交點.

詳解：（1）連接，由題知，

所以，即點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

因此，，所以，

所以點的軌跡的方程為.

（2）不妨設，，則直線：，

設，則，所以，

因此直線：.

設，聯立直線與橢圓的方程可得，

因此，所以，

所以，

所以直線的方程為，即，

其中，，

聯立直線：與橢圓，得，

所以 ，

所以與曲線只有一個交點.