[題目]已知F為拋物線焦點.A為拋物線C上的一動點.拋物線C在A處的切線交y軸于點B.以FA.FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.(1)證明:點M在一條定直線上,(2)記點M所在定直線為l.與y軸交于點N.MF與拋物線C交于P.Q兩點.求的面積的取值范圍. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網—

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【題目】已知F為拋物線焦點，A為拋物線C上的一動點，拋物線C在A處的切線交y軸于點B，以FA、FB為鄰邊作平行四邊形FAMB.

（1）證明：點M在一條定直線上；

（2）記點M所在定直線為l，與y軸交于點N，MF與拋物線C交于P，Q兩點，求的面積的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1) 設,求導可得切線斜率,即可求出切線方程,得出點坐標,求出的中點為,由又為的中點可得,即證得結論;

(2) 由(1)可求得直線MF的方程: ,及與拋物線方程聯立,借助韋達定理,弦長公式及點到直線的距離公式即可求得面積.

(1)證明:設,則在處的切線斜率為.

所以切線方程為:,令得即.

記的中點為,則.又,因為四邊形為平行四邊形,即又為的中點,所以,即點在定值線

(2) 由（1）可知直線的方程: ,設聯立,化簡得,

,則,點到直線的距離為,所以面積為,即面積取值范圍為.

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