Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中點，A1A＝A1B1＝2.

（1）求證：AB1∥平面A1CD；

（2）若異面直線AB1和BC所成角為60°，求四棱錐A1﹣CDB1B的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

（1）連AC1交A1C于點E，連DE.證明DE∥AB1，然后證明AB1∥平面A1CD；

（2）∠C1DE或其補角為異面直線AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱錐的底面積與高，即可求解體積.

（1）證明：如圖，連AC1交A1C于點E，連DE.

因為直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是矩形，故點E是AC1中點，

又D是B1C1的中點，故DE∥AB1，

又AB1平面A1CD，DE平面A1CD，故AB1∥平面A1CD.

（2）由（1）知DE∥AB1，又C1D∥BC，故∠C1DE或其補角為異面直線AB1和BC所成角.

設AC＝2m，則，

故△C1DE為等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE為等邊三角形，則有，得到m＝1.

故△A1B1C1為等腰直角三角形，故A1D⊥C1B1，

又B1B⊥平面A1B1C1，A1D平面A1B1C1，故A1D⊥B1B，

又B1B∩C1B1＝B1，故A1D⊥平面CDB1B，

又梯形CDB1B的面積，

則四棱錐A1﹣CDB1B的體積.