Question

【題目】在平面直角坐標系xOy 中，橢圓G的中心為坐標原點，左焦點為F1（﹣1，0），離心率e=．

（1）求橢圓G 的標準方程；

（2）已知直線l1：y=kx+m1與橢圓G交于 A，B兩點，直線l2：y=kx+m2（m1≠m2）與橢圓G交于C，D兩點，且|AB|=|CD|，如圖所示．

①證明：m1+m2=0；

②求四邊形ABCD 的面積S 的最大值．

Answer 1

【答案】（1） （2）①見解析②

【解析】試題分析：（1）由焦點坐標及離心率可求得，即可求橢圓G 的標準方程；（2）①利用弦長公式及韋達定理，表示出由，由得到；②四邊形是平行四邊形，設間的距離，由得，即可.

試題解析：（1）設橢圓G的方程為（a＞b＞0）

∵左焦點為F1（﹣1，0），離心率e=．∴c=1，a=，

b2=a2﹣c2=1

橢圓G 的標準方程為：．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

①證明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0

，

x1+x2=，x1x2=；

|AB|==2；

同理|CD|=2，

由|AB|=|CD|得2=2，

∵m1≠m2，∴m1+m2=0

②四邊形ABCD 是平行四邊形，設AB，CD間的距離d=

∵m1+m2=0，∴

∴s=|AB|×d=2×

=.

所以當2k2+1=2m12時，四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2