Question

【題目】已知拋物線的頂點為原點，焦點為圓的圓心.經過點的直線交拋物線于兩點，交圓于兩點， 在第一象限， 在第四象限.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否存在直線，使是與的等差中項？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）根據圓的圓心為拋物線的焦點，可求得 ，即可求得拋物線方程；（2）若是等差中項，那么 ，那么 ，再根據拋物線的焦點弦長可知 ，將問題轉化為根與系數的關系，求出直線方程.

試題解析：（1）根據已知設拋物線的方程為.

∵圓的方程為，

∴圓心的坐標為，半徑.

∴，解得.

∴拋物線的方程為.

（2）∵是與的等差中項，∴.

∴.

若垂直于軸，則的方程為，代入，得.

此時，即直線不滿足題意.

若不垂直于軸，設的斜率為，由已知得， 的方程為.

設，由得.

∴.

∵拋物線的準線為，

∴，

∴，解得.

當時， 化為，

∵，∴有兩個不相等實數根.

∴滿足題意，即直線滿足題意.

∴存在滿足要求的直線，它的方程為或.