Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過左焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓相交，所得弦長為1，斜率為 ()的直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點．　

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點，使得無論取何值， 為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在點M（2，0）滿足題意，且常數為0.

【解析】試題分析：（I）由題意可知得的值，即可求解橢圓的標準方程；

（II）設在軸上存在點滿足題意,設直線的方程可設為與橢圓的方程聯立方程組，得出和，利用，求得，即可確定結論.

試題解析：（I）由題意可知橢圓過點，則，

又

解得，則橢圓方程.

（II）設在x軸上存在點M（t，0）滿足題意,

直線過點（1， 0）且斜率為k，則直線的方程可設為：

由 可知：

易知： 設

則：

由題可設：

對任意實數恒成立；

解得：

存在點M（2，0）滿足題意，且常數為0.