Question

【題目】數列滿足：，，（表示不大于x的最大整數，）.試求的值.

Answer 1

【答案】998

【解析】

觀察數列初始的一些項（見表1）.

表1

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	2	2	2	3	3	4	4
	1	2	3	4	6	8	10	13	16	20	24
	11	12	13	14	15	16	17	18	19		20
	4	5	5	6	6	7	7	8	8		8
	28	33	38	44	50	57	64	72	80		88

注意到，數列嚴格單增，每個正整數1，2，…順次在數列中出現，并且除了首項之外，每個形如的數連續出現三次，其他數各連續出現兩次.

一般地，可證明數列的以下性質：

（1）對任意的，若記，則.

（2）對任意的，若記，則當時，有

.

對k歸納.

據上面所列出的項知，當時結論成立.設

對于性質（1）、（2）成立，即在時，，則

.

再對滿足的r歸納.

當r=1時，由于，則

.

因為

，

則.

設當時，均有.

當時，因為

，①

則，

，

即.

所以，.

由于

，

所以，.

故由歸納法，當，時，

.

特別地，當時，上式成為

②

又由式①得

.

當，，有

.

所以，.③

由式②、③可知，對于，當k=n+1時，亦有..

從而，性質（1）、（2）成立.

因為，取，則，.

因此，.