Question

【題目】某工廠生產某種產品，為了控制質量，質量控制工程師要在產品出廠前對產品進行檢驗．現有（且）份產品，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將這份產品混合在一起作為一組來檢驗．若檢測通過，則這份產品全部為正品，因而這份產品只要檢驗一次就夠了；若檢測不通過，為了明確這份產品究竟哪幾份是次品，就要對這份產品逐份檢驗，此時這份產品的檢驗次數總共為次．假設在接受檢驗的樣本中，每份樣本的檢驗結果是正品還是次品都是獨立的，且每份樣本是次品的概率為．

（1）如果，采用逐份檢驗方式進行檢驗，求檢測結果恰有兩份次品的概率；

（2）現對份產品進行檢驗，運用統計概率相關知識回答：當和滿足什么關系時，用混合檢驗方式進行檢驗可以減少檢驗次數？

（3）①當（且）時，將這份產品均分為兩組，每組采用混合檢驗方式進行檢驗，求檢驗總次數的數學期望；

②當（，且，）時，將這份產品均分為組，每組采用混合檢驗方式進行檢驗，寫出檢驗總次數的數學期望（不需證明）．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）①②

【解析】

(1)根據二項分布的方法求解即可.

(2)記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為,再根據題意求出對應的數學期望,再根據化簡求解即可.

(3)①設兩組采用混合檢驗的檢驗次數分別為,,由(2)可知

再相加即可.

②根據題意可知,這組采用混合檢驗的檢驗次數所有的可能值均為,再求解數學期望即可.

解：（1）如果,采用逐份檢驗方式,設檢測結果恰有兩份次品的概率為

檢測結果恰有兩份次品的概率．

（2）記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為,采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為,由已知得,的所有可能取值為

,

=

要減少檢驗次數,則,則

∴,,即,

（3）①兩組采用混合檢驗的檢驗次數分別為,,則由（2）知,

,,

②設這組采用混合檢驗的檢驗次數分別為,,,,,,且檢驗總次數,

,

,

所以檢驗總次數的數學期望．