Question

已知函數．
(1)若曲線在x=l和x=3處的切線互相平行，求a的值及函數的單調區間；
(2)設，若對任意，均存在，使得，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）單調遞增區間為，，單調遞減區間為. （2）.

解析試題分析：（1）首先依題意求得，確定函數的解析式，
進一步求導數：，求駐點，分區間討論導數值的正負，確定得到單調區間.
（2）將問題加以轉化：若要命題成立，只須當時，.
由可知， 當時,
所以只須.
問題進一步轉化成確定的最大值，注意到，
分時，時，時，時，分別討論.
試題解析：（1），
由得，  3分
所以：單調遞增區間為，，
單調遞減區間為.       6分
（2）若要命題成立，只須當時，.
由可知， 當時,
所以只須.     8分
對來說，，
①當時，
當時，顯然，滿足題意，
當時，令，
，所以遞減，所以，滿足題意，
所以滿足題意；     10分
②當時，在上單調遞增，
所以得 ，  12分
綜上所述，.     13分
考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值.