Question

【題目】設橢圓的左頂點為，右頂點為．已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用直線被圓截得弦長為構造關于的方程，求得，再根據離心率和之間關系求得，從而得到橢圓方程；（Ⅱ）假設，則，表示出直線和直線，求解出點坐標，從而利用直線斜率大于，求得；又為橢圓上的點且在第一象限，可知，從而可得；將表示為關于的函數，利用函數求值域的方法求解出的取值范圍.

（Ⅰ）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑

圓心到直線的距離

直線被圓截得的弦長為

解得：，又橢圓離心率

，

橢圓的標準方程為：

（Ⅱ）設，其中，，則

，

則直線為：；直線為：

由得：

令，，則

即