【題目】已知拋物線上一點
到其焦點F的距離為5.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設直線l與拋物線C交于A、B兩點,O為坐標原點,若,求證:直線l必過一定點,并求出該定點的坐標;
(3)過點的直線m與拋物線C交于不同的兩點M、N,若
,求直線m的斜率的取值范圍.
【答案】(1)(2)直線l過定點
,證明見解析(3)
【解析】
(1)解法1:根據拋物線的定義列方程,求得p的值,寫出拋物線方程;
解法2:將代入
,再由點T到其焦點F的距離,
列出方程組求得p的值,再寫出拋物線方程;
(2)可直線l的方程為,與拋物線方程聯立,消去y,
利用根與系數的關系計算,從而證明直線l過定點
;
(3)依題意設直線m的方程為,與拋物線方程聯立,消去y,
利用根與系數的關系計算,由
得k的取值范圍.
解:(1)解法1:由題意,根據拋物線的定義,有,解得
,
所以拋物線C的方程為;
解法2:將代入
得,
,
又點到其焦點F的距離為5,焦點坐標為
,所以
,
將代入整理得
,解得
,
故拋物線C的方程為;
(2)依題意,直線l的斜率存在,設l的方程為,
由得
,
設,
,則
,
,
所以
,
令,得
,所以直線l過定點
.
(3)依題意,直線m的斜率k存在且,設m的方程為
,
由消去y,得
,
由,即
,解得
或
.
設,
,則
,
,且
,
,
所以
,
因為,所以
,解得
;
所以,直線m的斜率的取值范圍是.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】研學旅行是研究性學習和旅行體驗相結合的校外教育活動,繼承和發展了我國傳統游學、“讀萬卷書,行萬里路”的教育理念和人文精神,成為素質教育的新內容和新方式,提升中小學生的自理能力、創新精神和實戰能力,是綜合實戰育人的有效途徑,為了了解某校高二年級600名學生在一次研學旅行活動中的武術表演情況,研究人員在該校高二學生中隨機抽取了10名學生的武術表演成績進行統計,統計結果如圖所示(滿分100分),已知這10名學生或武術表演的平均成績為85分.
(1)求m的值;
(2)為了研究高二男、女生的武術表演情況,現對該校高二所有學生的武術表演成績進行分類統計,得到的數據如下表所示:
男生 | 女生 | 合計 | |
武術表演成績超過80分 | 150 | ||
武術表演成績不超過80分 | 100 | ||
合計 |
已知隨機抽取這600名學生中的一名學生,抽到武術表演成績超過80分的學生概率是,根據已知條件完成上面
列聯表,并據此判斷是否有
的把握認為武術表演成績超過80分與性別具有相關性.
參考公式:,其中
.
臨界值表:
P( | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,AB=1,BC=2,AC,PC
,PA
,PB
,E是線段BC的中點.
(1)求點C到平面APE的距離d;
(2)求二面角P﹣EA﹣B的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的左頂點為
,右頂點為
.已知橢圓的離心率為
,且以線段
為直徑的圓被直線
所截得的弦長為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設過點的直線
與橢圓交于點
,且點
在第一象限,點
關于
軸對稱點為點
,直線
與直線
交于點
,若直線
斜率大于
,求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設分別為雙曲線
的左、右焦點。若在雙曲線右支上存在點
,滿足
,且
到直線
的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線與拋物線
的準線圍成三角形的面積為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某商場周年慶,準備提供一筆資金,對消費滿一定金額的顧客以參與活動的方式進行獎勵.顧客從一個裝有大小相同的2個紅球和4個黃球的袋中按指定規則取出2個球,根據取到的紅球數確定獎勵金額,具體金額設置如下表:
取到的紅球數 | 0 | 1 | 2 |
獎勵(單位:元) | 5 | 10 | 50 |
現有兩種取球規則的方案:
方案一:一次性隨機取出2個球;
方案二:依次有放回取出2個球.
(Ⅰ)比較兩種方案下,一次抽獎獲得50元獎金概率的大小;
(Ⅱ)為使得盡可能多的人參與活動,作為公司的負責,你會選擇哪種方案?請說明理由.
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