Question

【題目】已知函數， ， 為自然對數的底數.

（1）若函數在點處的切線為，求的值；

（2）當時，若在區間上有兩個零點,，試判斷， ， 的大小關系.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用導數的幾何意義求出的值. (2)第（2）問，先研究函數g(x)在的單調性得到它的兩個零點的范圍， ， ，再作差比較和的大小，最后利用函數的圖像和性質比較和的大小.

試題解析：

（1）由題意，知， .

因為，所以，即.

又因為，所以.

（2）由題意，知.

因為， ，由，得或.

當時， ，所以在區間上單調遞增；

當時， ，所以在區間上單調遞減；

所以的極小值為.

因為，且在區間上單調遞減，所以.

又因為， ，所以存在，使得，所以存在，使得，且，所以，即.

當時， ， .

令， ，則，設，

則在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增，

所以，

所以在區間上恒成立，即在區間上單調遞增，故，

所以當時， .

又因為， 在區間上單調遞增，所以

所以.