Question

【題目】已知函數，．

（1）若，判斷函數的奇偶性，并加以證明；

（2）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；

（3）若存在實數，使得關于的方程有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數；（2）；（3）.

【解析】

（1）若a=0，根據函數奇偶性的定義即可判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義和性質，利用二次函數的性質即可求實數a的取值范圍；
（3）根據方程有三個不同的實數根，建立條件關系即可得到結論．

解：（1）函數為奇函數．

當時，，，

∴，

∴函數為奇函數；

（2），

當時，的對稱軸為：；

當時，的對稱軸為：；

∴當時，在上是增函數，

即時，函數在上是增函數；

（3）方程的解即為方程的解．

①當時，函數在上是增函數，

∴關于的方程不可能有三個不相等的實數根；

②當時，即，

∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；即，即，

∵，∴．

設，

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，

∴，又可證在上單調增．

∴，∴；

③當時，即，

∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；

即，∵∴，

設

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，

∴，又可證在上單調減，∴

∴；

綜上：．