Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數在上的最小值；

（2）對一切，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）探討函數是否存在零點？若存在，求出函數的零點；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) 函數無零點.

【解析】

試題分析：(1)求函數的層數可得，并由導數的符號判斷函數的單調性可得函數在區間上的最小值為，分別討論當與時函數在區間上的單調性與最小值即可；（2）對一切，恒成立，構造函數，求函數的最小值即可；(3)

，由（Ⅰ）知當且僅當時，的最小值是，構造函數，求其導數，研究函數的單調性與最值可知，且兩個函數取得最大值點與最小值點時不相等，所以有，即兩個函數無公共點，即函數無零點.

試題解析： （Ⅰ），

由得，，由得，

函數在上單調遞減，在上單調遞增.………………（1分）

當時，；

當時，在上單調遞增，，………………（2分）

………………（3分）

（Ⅱ）原問題可化為，………………（4分）

設，

，當時，在上單調遞減；…………（5分）

當時，在上單調遞增；………………（6分）

，故的取值范圍為.………………（7分）

（Ⅲ）令，得，即，………………（8分）

當（Ⅰ）知當且僅當時，的最小值是，…………（9分）

設，則，易知在上單調遞增，在上單調遞減，

當且僅當時，取最大值，且，………………（10分）

對都有，即恒成立，

故函數無零點.……………………（12分）