Question

【題目】已知橢圓 的離心率為，左、右焦點分別是,以為圓心、3為半徑的圓與以為圓心、1為半徑的圓相交，交點在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線與橢圓C交于A,B兩點，點M是橢圓C的右頂點直線AM與直線BM分別與y軸交于點PQ，試問以線段PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由題意可得，又離心率 ，可求，即可求出橢圓的標準方程（2）聯立直線與橢圓方程，消元得一元二次方程，求出，寫出點的坐標，

以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點 ，則等價于恒成立，利用向量運算即可求出.

（1）由題意知，則．又，可得，

橢圓的方程為。

（2）以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點．

由 得．

設 ，則有

又點M是橢圓C的右頂點，所以點 ．

由題意可知直線AM的方程為，故點 ．

直線BM的方程為，故點．

若以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點 ，則等價于恒成立．

又因為，

恒成立．

又因為 ，

所以 ．解得．

故以線段PQ為直徑的圓過x軸上的定點。