Question

【題目】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區開設分店，為了確定在該區開設分店的個數，該公司對該市已開設分店的其他區的數據作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區開設分店的個數，y表示這個x個分店的年收入之和.

(1)該公司已經過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程

(2)假設該公司在A區獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關系為，請結合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應在A區開設多少個分店時，才能使A區平均每個分店的年利潤最大?

(參考公式:，其中，)

Answer 1

【答案】(1);(2)該公司應開設4個分店時，在該區的每個分店的平均利潤最大

【解析】

（1）由表中數據先求得.再結合公式分別求得,即可得y關于x的線性回歸方程.

（2）將（1）中所得結果代入中,進而表示出每個分店的平均利潤,結合基本不等式即可求得最值及取最值時自變量的值.

（1）由表中數據和參考數據得:

,,

因而可得,,

再代入公式計算可知,

∴,

∴.

（2）由題意,可知總收入的預報值與x之間的關系為:,

設該區每個分店的平均利潤為t,則,

故t的預報值與x之間的關系為,

當且僅當時取等號,即或（舍）

則當時,取到最大值,

故該公司應開設4個分店時,在該區的每個分店的平均利潤最大.