Question

【題目】已知函數，.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數的極值；

（2）若函數的圖象恒在直線的下方.

①求的取值范圍；

②求證：對任意正整數，都有.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值；（2）①；②見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，然后結合導數的幾何意義及直線垂直時斜率的關系可求，然后結合單調性可求極值；

（2）①由已知可得對任意的恒成立，分離參數后通過構造函數，轉化為求解相應函數的最值，結合導數可求；

②結合①可得對任意的恒成立，賦值，可得，然后結合對數的運算性質可求．

（1），，

由已知可得，解得.

則，，其中.

令，得.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

所以，函數的極大值為，無極小值；

（2）①由條件知，只需，即對任意的恒成立，

即，其中，

令，則，即，

構造函數，則，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

所以，，，因此，實數的取值范圍是；

②由①可知，當時，對任意的恒成立，

令，則，

所以，

所以.