Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數在上的最值；

（2）若對，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用導數分析函數在區間上的單調性，利用極值與最值之間的關系可求得函數在區間上的最大值和最小值；

（2）由變形得出，構造函數，可知函數在上為增函數，可得出對任意的恒成立，結合參變量分離法得出，構造函數，利用導數求得函數的最大值，進而可求得實數的取值范圍.

（1），則，令，解得.

當時，；當時，.

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，即.

又，，所以，.

因此，，；

（2）因為，，等價于，

令，

因為，總有成立，

所以，函數在上單調遞增.

問題化為對恒成立，即對恒成立.

令，則.

由得，.

當時，，函數遞增，當時，，函數遞減.

所以，，.

因此，實數的取值范圍是：.