Question

【題目】某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）請分析函數y= +1是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
（2）若該公司采用函數模型y= 作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于函數模型y=f（x）= +1，

當x∈[10，1 000]時，f（x）為增函數，

f（x）max=f（1 000）= +1= +1＜9，所以f（x）≤9恒成立，

又因為當x∈[10，1 000]時f（x）﹣ =﹣ +1≤f（10）=﹣ ＜0，

所以f（x）≤ 恒成立，

故函數模型y= -3+1符合公司要求

（2）解：對于函數模型y=g（x）= ，即g（x）=10﹣ ，

當3a+20＞0，即a＞﹣ 時遞增，

為使g（x）≤9對于x∈[10，1 000]恒成立，

即要g（1 000）≤9，3a+18≥1 000，即a≥ ，

為使g（x）≤ 對于x∈[10，1 000]恒成立，

即要 ≤5，即x2﹣48x+15a≥0恒成立，

即（x﹣24）2+15a﹣576≥0（x∈[10，1 000]）恒成立，又24∈[10，1 000]，

故只需15a﹣576≥0即可，

所以a≥ ．

綜上，a≥ ，故最小的正整數a的值為328

【解析】（1）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f（x）≤ ．（2）先將函數解析式進行化簡，然后根據函數的單調性，以及使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤ 對x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相應的a的取值范圍．