Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞D）的離心率為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為 ．
（1）求a、b的值；
（2）C上是否存在點P，使得當l繞P轉到某一位置時，有 = + 成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的方程為y=x﹣c，則 = ，解得c=1，

又 ，b2=a2﹣c2，解得 ，b2=2．

∴得 ，b=

（2）解：由（1）可得：橢圓C的方程為 =1．

假設C上存在點P，使得當l繞P轉到某一位置時，有 = + 成立．設A（x1，y1），B（x2，y2）．

設直線l的方程為my=x﹣1，聯立 ，

化為（2m2+3）y2+4my﹣4=0，

∴y1+y2= ．

∴x1+x2=m（y1+y2）+2= ．

∴ = + =（x1+x2，y1+y2）= ．

代入橢圓方程可得： + =1，

化為2m2﹣1=0，

解得m= ．

∴直線l的方程為：y= （x﹣1）．

由方程： ﹣1=0，

解得 ， ， ， ．

因此假設正確

【解析】（1）直線l的方程為y=x﹣c，則 = ，解得c，又 ，b2=a2﹣c2，解得a，b即可得出．（2）由（1）可得：橢圓C的方程為 =1．假設C上存在點P，使得當l繞P轉到某一位置時，有 = + 成立．設A（x1，y1），B（x2，y2）．

設直線l的方程為my=x﹣1，與橢圓方程聯立化為（2m2+3）y2+4my﹣4=0，利用根與系數的關系及其 = + =（x1+x2，y1+y2），可得點P的坐標（用m表示），代入橢圓的方程即可得出．