Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=3，且an+1﹣3an=3n，（n∈N*），數列{bn}滿足bn=3﹣nan．

（1）求證：數列{bn}是等差數列；

（2）設，求滿足不等式的所有正整數n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2,3,4

【解析】試題分析：（1）根據題干條件將表達式變形為：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，從而證得式子是等差數列；（2）根據第一問的結論得到數列的通項，進而求和，解不等式即可。

解析：

（1）證明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，則an+1=3n+1bn+1．

代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得。

所以數列{bn}是等差數列．

（2）解：因為數列{bn}是首項為b1=3﹣1a1=1，公差為等差數列，

則則an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．從而有。

故

則，由 得.

即3＜3n＜127，得1＜n≤4．

故滿足不等式的所有正整數n的值為2，3，4．