Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l經過點P(2,0)，其傾斜角為，在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中（取相同的長度單位），曲線C的極坐標方程為．

（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點，求傾斜角的取值范圍；

（Ⅱ）設M(x,y)為曲線C上任意一點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，設出直線l的方程，根據圓心到直線的距離小于半徑得到直線斜率的范圍，從而可得傾斜角的取值范圍．(Ⅱ)由題意得到曲線C的參數方程，故可將的范圍問題化為三角函數的值域的問題求解．

試題解析：

(Ⅰ) 曲線C的極坐標方程即為，

∵，

∴曲線C的直角坐標方程為，即．

∴曲線C是圓心為C(2, 0)，半徑為2的圓．

∵直線l過點P(2,0)，

∴當l的斜率存在時，直線l與曲線C才有公共點，

設直線l的方程為，即，

∵直線l與圓有公共點，

∴圓心C到直線l的距離 ，

解得．

又，

∴或.

故的取值范圍是．

(Ⅱ)由(Ⅰ)曲線C的直角坐標方程為，

故其參數方程為 （為參數）

∵M(x,y)為曲線C上任意一點，

∴

∵，

∴，

所以的取值范圍是．