Question

根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x₁，x₂，…，x_k，…；y₁，y₂，…，y_k，….

(1)分別求數列{x_k}和{y_k}的通項公式；
(2)令z_k＝x_ky_k，求數列{z_k}的前k項和T_k，其中k∈N^*，k≤2 007.

Answer 1

（1）y_k＝3^k－1(k∈N^*，k≤2 007)．（2）(k－1)·3^k＋1＋3＋k²

(1)由框圖，知數列{x_k}中，x₁＝1，x_k＋1＝x_k＋2，
∴x_k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N^*，k≤2 007)
由框圖，知數列{y_k}中，y_k＋1＝3y_k＋2，
∴y_k＋1＋1＝3(y_k＋1)∴＝3，y₁＋1＝3.
∴數列{y_k＋1}是以3為首項，3為公比的等比數列，
∴y_k＋1＝3·3^k－1＝3^k，∴y_k＝3^k－1(k∈N^*，k≤2 007)．
(2)T_k＝x₁y₁＋x₂y₂＋…＋x_ky_k＝1×(3－1)＋3×(3²－1)＋…＋(2k－1)(3^k－1)＝1×3＋3×3²＋…＋(2k－1)·3^k－[1＋3＋…＋(2k－1)]
記S_k＝1×3＋3×3²＋…＋(2k－1)·3^k ①
則3S_k＝1×3²＋3×3³＋…＋(2k－1)·3^k＋1 ②
①－②，得－2S_k＝3＋2·3²＋2·3³＋…＋2·3^k－(2k－1)·3^k＋1
＝2(3＋3²＋…＋3^k)－3－(2k－1)·3^k＋1＝2×－3－(2k－1)·3^k＋1
＝3^k＋1－6－(2k－1)·3^k＋1＝2(1－k)·3^k＋1－6
∴S_k＝(k－1)·3^k＋1＋3∴T_k＝(k－1)·3^k＋1＋3＋k²