Question

【題目】已知a是常數，對任意實數x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設m＞n＞0，求證：2m+ ≥2n+a．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|
∵對任意實數x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，
∴a=3；
（Ⅱ）證明：2m+ ﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+ ，
∵m＞n＞0，
∴（m﹣n）+（m﹣n）+ ≥3 =3，
∴2m+ ﹣2n≥3，
即2m+ ≥2n+a
【解析】（Ⅰ）利用絕對值不等式求最值，即可求a的值；
（Ⅱ）作差，利用基本不等式證明結論．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法和不等式的證明的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．