Question

【題目】如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數列為“H型數列”．
（1）若數列{an}為“H型數列”，且a1= ﹣3，a2= ，a3=4，求實數m的取值范圍；
（2）是否存在首項為1的等差數列{an}為“H型數列”，且其前n項和Sn滿足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，請求出{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．
（3）已知等比數列{an}的每一項均為正整數，且{an}為“H型數列”，bn= an ， cn= ，當數列{bn}不是“H型數列”時，試判斷數列{cn}是否為“H型數列”，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m 或m＜0．

∴實數m的取值范圍時（﹣∞，0）∪

（2）解：假設存在等差數列{an}為“H型數列”，設公差為d，則d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由題意可得：n+ ＜n2+n對n∈N*都成立，即d 都成立．∵ =2+ ＞2，且 =2，∴d≤2，與d＞2矛盾，因此不存在等差數列{an}為“H型數列”
（3）解：設等比數列{an}的公比為q，則an= ，且每一項均為正整數，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在數列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”為最小項．

同理在數列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”為最小項．由{an}為“H型數列”，可知只需a2﹣a1＞2，

即 a1（q﹣1）＞2，又因為{bn}不是“H型數列”，且“b2﹣b1”為最小項，∴b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3

，由數列{an}的每一項均為正整數，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2，

①當a1=1，q=4時， ，則 ，令 ，則 ，令 ，則

= ，

∴{dn}為遞增數列，

即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，

即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1，

∵ ，所以，對任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，

即數列{cn}為“H型數列”．②當a1=3，q=2時， ，

則 ，顯然，{cn}為遞減數列，c2﹣c1＜0≤2，

故數列{cn}不是“H型數列”；

綜上：當 時，數列{cn}為“H型數列”，

當 時，數列{cn}不是“H型數列”

【解析】（1）由題意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣ ＞2，即2﹣ = ＞0，解得m范圍即可得出．（2）假設存在等差數列{an}為“H型數列”，設公差為d，則d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+ ，由題意可得：n+ ＜n2+n對n∈N*都成立，即d 都成立．解出即可判斷出結論．（3）設等比數列{an}的公比為q，則an= ，且每一項均為正整數，且an+1﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1 ， 即在數列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”為最小項．同理在數列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”為最小項．由{an}為“H型數列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因為{bn}不是“H型數列”，且“b2﹣b1”為最小項，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由數列{an}的每一項均為正整數，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通過分類討論即可判斷出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．