Question

【題目】如圖1，與是處在同-個平面內的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體

（1）求證：

（2）設若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；

（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

根據折疊圖形， ，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據平面，得到.

（2）根據，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，根據，可知，，表示相應點的坐標，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.

設所求幾何體的體積為，設為高，則，表示梯形BEFD和 ABD的面積由，再利用導數求最值.

（1）證明：不妨設與的交點為與的交點為

由題知，，則有

又，則有

由折疊可知所以可證

由平面平面，

則有平面

又因為平面，

所以....

（2）解：依題意，有平面平面，

又平面，

則有平面，，又由題意知，

如圖所示：

以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系

由題意知

由可知，

則

則有，

，

設平面與平面的法向量分別為

則有

則

所以

因為，解得

設所求幾何體的體積為，設，

則，

當時，，當時，

在是增函數，在上是減函數

當時，有最大值，

即

六面體的體積的最大值是