Question

已知函數.

（1）試判斷函數F（x）=(x²+1) f (x)—g(x)在[1，+∞)上的單調性；

（2）當0＜a＜b時，求證：函數f (x) 定義在區間[a,b]上的值域的長度大于（閉區間的長度定義為n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在實數根？說明理由。

Answer 1

解（1）∵F（x）=(x²+1)lnx –2x+2．   ∴F ′（x）= 2xlnx+．

∴當x≥1時，F′（x）≥0且僅當x = 1時F′（x）= 0

∴F（x）在（1，+∞）上單調遞增           

（2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域為[lna,lnb]

∴要證值域的長度大于， 即證lnb – lna＞   只要證ln

∵0＜a＜b,∴令  則只要證lnx＞  （x>1）

即證（x²+1）lnx –(2x –2)>0  (※)

由（1）可知F(x)在（1，+∞）上單調遞增 ∴F（x）＞F（1）= 0 所以（※）式成立．

∴f (x)在[a, b]上的值域的長度大于．

（3）∵f (x) =         xlnx=

令h (x) = xlnx(x>0)．則h ′（x）=lnx+1    當x∈（0，）時h ′（x）< 0,     h (x)單調遞減；

當x∈（）時，h′（x）>0，h (x)單調遞增．所以h (x)_min= h ()= –．

令(x)=則

當x∈（0，1），，單調遞增；   當x∈（1，+∞）時，，單調遞減．

∴_max=            所以方程f(x)= 沒有實根