Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的值域；

（2）當時，函數的圖象關于對稱，求函數的對稱軸．

（3）若圖象上有一個最低點，如果圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得的圖象，又知的所有正根從小到大依次為，且，求的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

分析：（1）時，值域為，時，利用三角函數的有界性可得結果；（2）由時，函數的圖象關于對稱，利用輔助角公式可得關于的方程從而可求出的值，進而確定函數的解析式，由兩角和的正弦公式將其化為一個角的三角函數，利用正弦函數的對稱性求解即可；（3）根據圖象上有一個最低點，結合輔助角公式可求得，從而得，由，分類討論，排除不合題意的，從而可得結果.

詳解：（1）當b=0時，函數g（x）=asinx+c．

當a=0時，值域為：{c}．

當a≠0時，值域為：[c﹣|a|，c+|a|]．（

（2）當a=1，c=0時，

∵g（x）=sinx+bcosx 且圖象關于x=對稱，

∴||=，∴b=﹣．

∴函數 y=bsinx+acosx 即：y=﹣sinx+cosx= cos（x+）．

由 x+=kπ，k∈z，可得函數的對稱軸為：x=kπ﹣，k∈z．

（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+）+c，其中，sin=，cos=．

由g（x）圖象上有一個最低點 （，1），所以，

∴，

∴g（x）=（c﹣1）sin（x﹣）+c．

又圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，則f（x）=（c﹣1）sinx+c．

又∵f（x）=3的所有正根從小到大依次為 x1、x2、x3…xn、…，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），

所以y=f（x）與直線y=3的相鄰交點間的距離相等，根據三角函數的圖象與性質，直線y=3要么過f（x）的最高點或最低點，要么是y=，

即：2c﹣1=3或 1﹣c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．

當c=2時，函數的 f（x）=sin+2，T=6．

直線 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期為3（矛盾）．

當c=3時，函數 f（x）=2sin+3，T=6．

直線直線 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 xn﹣xn﹣1=3 （n≥2 ），周期為6（滿足條件）．

綜上：f（x）=2sin+2．