Question

【題目】如圖，在三棱臺中，底面是邊長為的正三角形，，，是棱的中點，點在棱上，且．

（1）求證：平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取BC上一點G，滿足CG＝3GB，連接，FG，推導出四邊形為平行四邊形，從而EF，由此能證明EF平面.
（2）延長交于一點P，取AC的中點為O，連接PO，OB，則PO⊥AC，BO⊥AC，過O作OD⊥平面ABC，如圖，以OA為x軸，OB為y軸，OD為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線EF和平面ABC所成角的正弦值.

解：（1）取上一點，滿足，連，，

在中，由

∴，

又，

∴，

∴四邊形為平行四邊形

∴

又平面，平面

∴平面.

（2）延長，，交于一點，且為邊長為的正三角形，

取的中點為，連接，，則，，

且，，，，

過作平面，如圖，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

∴

面的一個法向量為，

設與平面所成的角為，

∴，

∴直線和平面所成角的正弦值為.