Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左，右焦點分別為，，點P是坐標平面內一點，且，，其中O為坐標原點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點，且斜率為的動直線l交橢圓于A，B兩點，求弦AB的垂直平分線在軸上截距的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)設,根據題意列出對應等式,解方程后即可求得a和b的值,得到橢圓方程;

(2)設出直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達定理求出中點坐標公式,當直線的斜率存在時,利用直線的點斜式方程,求得AB的垂直平分線方程,令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.

(1)由題知,,

設,又,

,

,

,從而,,

故橢圓C的方程為;

(2)設直線l的方程為,,,

聯立方程:,消去y得:,

顯然,

又,,

,

則AB的中點坐標為,

當AB的斜率k為零時,AB的垂直平分線為y軸,橫截距為0;

當時,AB垂直平分線的方程為:,

令,

當時,,

當時,,那么,

當且僅當,即時等號成立,

所以當時,弦AB的垂直平分線在x軸上的截距有最大值,為.