Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)討論函數的單調性；

(Ⅱ)證明：當時，函數有最大值.設的最大值為，求函數的值域.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析.(Ⅱ)答案見解析.

【解析】

(Ⅰ)，令，然后根據判別式的符號討論函數函數值的情況，進而得到的符號，于是可得函數的單調情況．

(Ⅱ)由題意得，結合（Ⅰ）得當時，在上單調遞減，且，因此得到對任意，存在唯一的，使，且在單調遞增，在單調遞減，所以的最大值．設，則在單調遞減，可得，進而可得所求值域．

(Ⅰ)由，

得．

令，

則，

（1）當時，，所以，，

所以在上單調遞減．

（2）當或時，，

設的兩根為且，則，

①若，可知，

則當時，單調遞減；當時，單調遞增．

②若，可知，

則當時，單調遞減；

當時，單調遞增．

綜上可知：

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞減，在上單調遞增．

(Ⅱ)由，

得

，

由(Ⅰ)可知當時，在上單調遞減，且，

所以對任意，存在唯一的，使（反之對任意，

也存在唯一，使）.

且當時，，，在單調遞增；

當時，，，在單調遞減.

因此當時，取得最大值，且最大值

，

令，

則，

所以在單調遞減，

所以，即，

所以的值域為．