Question

【題目】如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，E是棱PC的中點，過AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點．
（1）若PM= PB，PN=λPD，求λ的值；
（2）求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AC、BD交于點O，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）

， ， ， ， ．

，

∵AN，AE，AM共面，∴

（2）解：根據正四棱錐P﹣ABCD的對稱性可知，當PM=PN時，P到面AMEN的距離最大，此時直線PA與平面AMEN所角最大，

，P到面AMEN的距離最小，此時直線PA與平面AMEN所角最�。�

①由（Ⅰ）知當PM=PN時，λ= ， ，

設面AMEN的法向量為 ，

由 ， 取

設直線PA與平面AMEN所成角為θ，sinθ=|cos＜ ＞|= ，

②當M在B時，因為AB∥面PDC，所以過AB，AE的面與面PDC的交線NE∥AB

設 是面ABEN的法向量，

由 ，可取

sinθ=|cos＜ ＞|= ．

直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[ ， ]

【解析】（1）連接AC、BD交于點O，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）由AN，AE，AM共面， ．（2）根據正四棱錐P﹣ABCD的對稱性可知，當PM=PN時，P到面AMEN的距離最大，此時直線PA與平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距離最小，此時直線PA與平面AMEN所角最�。�利用向量分別求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．