Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程．
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=1﹣ ．

當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ （x＞0），所以f（1）=1，f'（1）=﹣1，

所以y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

（2）解：由f′（x）=1﹣ = ，x＞0可知：

①當a≤0時，f'（x）＞0，函數f（x）為（0，+∞）上的增函數，函數f（x）無極值；

②當a＞0時，由f'（x）=0，解得x=a；

因為x∈（0，a）時，f'（x）＜0，x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，

所以f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值．

綜上：當a≤0時，函數f（x）無極值，

當a＞0時，函數f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值

【解析】（1）利用導數求出在點A（1，f（1））處的導數值即為切線的斜率根據點斜式求出方程。（2）求出導函數，根據導函數的性質得出當a＞0時，由f'（x）=0，解得x=a，然后再由f'（x）在x=a處兩邊的值的正負判斷得出f（x）在x=a處取得極小值即為f（a）=a﹣alna。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．