Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．

（1）證明：BD⊥PC；

（2）若AD=4，BC=2，設AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12

【解析】

（1）可證平面，從而得到．

（2）連結，根據可得，再根據均為等腰直角三角形得到梯形的高和的長度，從而得到的長度后可利用體積公式計算四棱錐的體積．

證明：（1）因為平面，平面，

所以．

又，是平面內的兩條相交直線，

所以平面．

而平面，所以．

（2）連結，由（1）知，平面，

平面知，．在中，

因為，所以，得．

又因為四邊形為等腰梯形，，

所以均為等腰直角三角形．

從而梯形的高為，

于是梯形面積．

在等腰直角三角形中，，

所以，．

故四棱錐的體積為．