Question

【題目】已知函數.

（1）若的反函數是，解方程：；

（2）設，是否存在，使得等式成立？若存在，求出的所有取值，如不存在，說明理由；

（3）對于任意，且，當、、能作為一個三角形的三邊長時，、、也總能作為某個三角形的三邊長，試探究的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0，；（2）不存在，理由見解析；（3）2.

【解析】

（1）求出的反函數是，直接求解方程即可。

（2）分類討論，利用三角函數的值域即可得到結論。

（3）正面情形根據三角形三邊的大小進行推理分析求解，不成立的情形舉反例說明。

（1）的反函數是，由方程

可得解得或

故或

（2）

由，由，

則方程為：

當時，無解；

當時，，所以

所以或無解；

當時，

所以無解；

綜上所述，對于一切正整數原方程都無解。故不存在

（3）由題意知，

若、、也總能作為某個三角形的三邊長，

則，

當時，有，即、、作為一個三角形的三邊長時能作為三角形的三邊

又當時，取，，有,即，

此時、、能作為一個三角形的三邊長，但，

即，即不能作為三角形的三邊，

綜上所述，的最小值為