Question

【題目】如圖，設拋物線的準線與軸交于橢圓的右焦點，為橢圓的左焦點，橢圓的利息率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點，連接并延長其交拋物線于點，為拋物線上一動點，且在，之間移動.

（1）當取最小值時，求的值；

（2）若的邊長恰好是三個連續的自然數，當的面積取最大值時，求面積最大值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）用表示出，，根據基本不等式得出的值，從而得出和的方程；

（2）用表示出橢圓方程，聯立方程組得出點坐標，計算出△的三邊關于的式子，從而確定的值，求出的距離和到直線的距離，利用二次函數性質得出面積的最大值，即可求得直線的方程．

解：（1）因為，，則，，

所以當取最小值時，，又因為，所以.

（2）因為，，則，，設橢圓的標準方程為.

設，，由得，所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，

于是，，，又因為的邊長恰好是三個連續的自然數，所以.此時拋物線方程為，，，則直線的方程為.聯立，得或（舍去），于是，所以，

設（）到直線的距離為，則，當時，，所以的面積的最大值為.此時.