Question

【題目】如圖，已知矩形紙片的邊，，點，分別在邊與上，現將紙片的右下角沿翻折，使得頂點翻折后的新位置恰好落在邊上，設.

（1）若，求的長.

（2）設，將的長度表示為關于的函數，并求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），最小值為

【解析】

（1）設，則，可得，由二倍角公式可得，即可得到，從而解出，最后根據銳角三角函數計算可得；

（2）中，設，即可得到，則，，由，可得，所以，當為重合時，求得，即可得到，令，利用導數求的單調性，即可求出函數的最小值；

解：（1）設，則，

∵，則，，所以，

因為，

所以，

∴，∴，，，

.

（2）中，設，

因為，∴，則，

由（1）知，

，∴，

，，，，

，，

當為重合時，，

即，

所以

即

又且，

解得：.

∵，令，

在恒成立，

在單調遞減，，

∴.